Operații cu numere întregi

Mulțimea numerelor întregi, notată simbolic cu Z, cuprinde toate numerele naturale (0, 1, 2, 3, …), opusele lor negative (-1, -2, -3, …) și numărul zero.

În acest articol, vei descoperi cum se realizează operațiile fundamentale (adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea) în cadrul acestei mulțimi diverse și cum proprietățile acestor operații ajută la structurarea și înțelegerea matematicii la niveluri mai avansate.

Desigur, pentru a face calculele de mai jos este necesar să respectăm ordinea efectuării operațiilor din matematică.

Adunarea numerelor întregi

Adunarea a două numere întregi este una dintre cele mai elementare operații matematice și respectă următoarele reguli:

• Dacă ambele numere sunt pozitive, pur și simplu le adunăm ca pe numere naturale.
• Dacă ambele numere sunt negative, adunăm valorile lor absolute și punem un semn minus în fața sumei.
• Dacă numerele au semne diferite, scădem valoarea absolută mai mică din cea mai mare și păstrăm semnul numărului cu valoarea absolută mai mare.

Exemple:

• 3+5=83+5=8
• (−3)+(−5)=−8(−3)+(−5)=−8
• 5+(−3)=25+(−3)=2
• (−5)+3=−2(−5)+3=−2

Scăderea numerelor întregi

Scăderea poate fi văzută ca adunarea opusului. Pentru a scădea un număr întreg din altul, adăugăm opusul numărului de scăzut.

Exemple:

• 7−4=7+(−4)=37−4=7+(−4)=3
• (−7)−(−4)=(−7)+4=−3(−7)−(−4)=(−7)+4=−3
• 4−(−7)=4+7=114−(−7)=4+7=11
• (−4)−7=(−4)+(−7)=−11(−4)−7=(−4)+(−7)=−11

Înmulțirea numerelor întregi

Înmulțirea numerelor întregi respectă regulile semnelor în următoarea manieră:

• Produsul a două numere cu semne identice (ambele pozitive sau ambele negative) este un număr pozitiv.
• Produsul a două numere cu semne diferite este un număr negativ.

Exemple:

• 3×4=123×4=12
• (−3)×(−4)=12(−3)×(−4)=12
• 3×(−4)=−123×(−4)=−12
• (−3)×4=−12(−3)×4=−12

Împărțirea numerelor întregi

Asemenea înmulțirii, împărțirea numerelor întregi urmează regulile semnelor:

• Împărțirea a două numere întregi cu semne identice va fi pozitivă.
• Împărțirea a două numere întregi cu semne diferite va fi negativă.

Exemple:

• 12÷4=312÷4=3
• (−12)÷(−4)=3(−12)÷(−4)=3
• 12÷(−4)=−312÷(−4)=−3
• (−12)÷4=−3(−12)÷4=−3

În cazul împărțirii, trebuie să fim atenți că nu putem împărți niciodată prin zero.

Proprietățile operațiilor cu numere întregi

Aceste operații nu sunt doar niște pași mecanici de calcul, ele sunt fundamentate de proprietăți matematice profunde care asigură consistența și fiabilitatea aritmeticii.

1. Proprietatea comutativă: Adunarea și înmulțirea sunt comutative, ceea ce înseamnă că schimbarea ordinii numerelor nu afectează rezultatul. a+b=b+a și a×b=b×a
2. Proprietatea asociativă: Adunarea și înmulțirea sunt asociative, sugerând că atunci când adunăm sau înmulțim trei sau mai multe numere întregi, modul în care grupăm numerele nu schimbă rezultatul.(a+b)+c=a+(b+c) și (a×b)×c=a×(b×c)
3. Proprietatea distributivă: Înmulțirea distribuie peste adunare. a×(b+c)=a×b+a×c
4. Elementul neutru: Pentru adunare, 0 este elementul neutru, deoarece orice număr întreg adunat cu 0 își păstrează valoarea. Pentru înmulțire, 1 este elementul neutru. a+0=a și a×1=a
5. Inversul aditiv: Fiecare număr întreg are un invers aditiv, adică un număr care adunat cu el dă suma zero. a+(−a)=0

Înțelegerea acestor operații și proprietăți este esențială nu doar pentru matematica de bază, dar și pentru concepte avansate precum algebră, analiza matematică și chiar în domenii aplicate precum informatica (IT) și ingineria. A avea o bază solidă în manipularea numerelor întregi deschide poarta către o lume vastă de cunoștințe matematice.